La théorie de Froude et la limite de Betz décrivent ce qu'une éolienne ou une hydrolienne peut capter : la théorie traite l'hélice de captage comme un disque qui freine le fluide, relie la vitesse induite axiale à la poussée et à la puissance, et conduit à la limite de Betz, soit 16/27 ou 59,3 % de la puissance du fluide qui traverse le disque. Cette page déroule le raisonnement pas à pas, avec toutes ses formules. Elle repose sur le bilan de quantité de mouvement, qu'il vaut mieux avoir en tête avant de commencer.

Au sommaire :

• Hypothèses de la théorie de Froude
• Bilan de quantité de mouvement
• Pression, vitesse au disque et vitesse induite
• Puissance extraite, coefficient Cp et limite de Betz
• Exemple chiffré : une éolienne de 10 m de diamètre
• Limites de la théorie de Froude

1 : Hypothèses de la théorie de Froude et disque actuateur

La méthode de Froude utilise les équations de conservation de la quantité de mouvement pour calculer les performances d'une hélice. Elle la considère comme un disque uniformément chargé, qui aurait un nombre infini de pales. Les vitesses induites axiales s'en déduisent. Les hypothèses sont les suivantes :

• la rotation de l'écoulement est négligée ;
• le fluide est incompressible ;
• l'écoulement à l'extérieur de la veine qui traverse le disque n'est pas perturbé ;
• la pression loin en amont et loin en aval est égale à la pression statique de l'écoulement non perturbé ;
• le fluide traverse le rotor sans frottement.

Le disque agit comme un frein : il oppose au courant de fluide une force T. Nous pouvons la voir comme le résultat de la différence de pression entre l'amont et l'aval du disque.

L'équation de continuité nous dit que, pour conserver le même débit, la section doit augmenter quand la vitesse diminue. La veine de fluide qui traverse le disque s'élargit donc, puisque le disque la freine. Observons l'hélice dans un volume de contrôle plus grand que cette veine : l'élargissement n'est possible que si une partie du fluide sort du volume de contrôle par les côtés.

Figure 1 : la veine s'élargit en traversant le disque ; les courbes du bas montrent la vitesse et la pression le long de l'axe. Les légendes de cette figure sont peu lisibles à cette taille.

2 : Bilan de quantité de mouvement d'une éolienne ou hydrolienne

Nous notons V₀ la vitesse loin en amont, V₁ la vitesse au niveau du disque, V₂ la vitesse loin en aval, r le rayon de la veine loin en aval et R le rayon du volume de contrôle. Pour une hélice de captage, V₂ est inférieure à V₀.

L'équation de continuité donne le volume évacué du volume de contrôle par seconde, c'est-à-dire le débit volumique Q en m³/s :

Le signe de Q traduit un fait physique : comme V₂ est inférieure à V₀, Q est négatif, et du fluide sort latéralement du volume de contrôle. Le théorème de quantité de mouvement donne ensuite la force axiale T, c'est-à-dire la variation de quantité de mouvement entre les sections 2 et 0, projetée sur l'axe de l'hélice :

La dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps s'écrit :

La quantité de mouvement M₂ qui sort du volume de contrôle à la section 2 vaut :

La quantité de mouvement totale M₁ qui entre dans le volume de contrôle est la quantité de mouvement à l'entrée du volume, diminuée de celle qui est évacuée latéralement :

Remarque de lecture : V₂ étant inférieure à V₀, la quantité évacuée par les côtés vaut ρ(V₀ − V₂)πr²V₀. L'image ci-dessus écrit ce terme avec (V₂ − V₀) précédé d'un signe moins ; il faut le lire avec le signe qui redonne la formule de T ci-dessous, soit M₁ = ρπR²V₀² + ρ(V₂ − V₀)πr²V₀.

La force axiale (T = M₂ − M₁) devient alors, avec la simplification en seconde ligne :

Cette force est calculée côté fluide : pour un frein, elle est négative, et la force que le fluide exerce sur le rotor est son opposée.

3 : Pression, vitesse au disque et vitesse induite

La même force s'exprime avec la pression statique qui s'exerce sur le disque :

où A est la surface du disque balayé par l'hélice et Δp la différence de pression à travers le disque. L'équation de Bernoulli s'écrit de 0 à 1 en amont :

et de 2 à 1 en aval :

La différence de pression statique entre les faces aval et amont du disque a donc pour expression :

L'équation de continuité entre le disque et la section 2 s'écrit , ce qui permet d'écrire :

Nous en tirons que la vitesse de l'écoulement au niveau du disque est la moyenne arithmétique des vitesses en amont et en aval de l'hélice :

On appelle vitesse induite, notée w, la variation de vitesse au niveau du disque, et a le facteur d'interférence axiale :

Remarque de lecture : ces deux images mélangent deux conventions. Pour une hélice de captage, la vitesse induite est un ralentissement, que nous définissons par w = V₀ − V₁ = a V₀. Le facteur a est alors la fraction de vitesse perdue au disque, ce qui est la définition utilisée dans la suite de la page.

Avec la moyenne , la force axiale qui s'exerce sur le disque devient :

4 : Puissance extraite, coefficient de puissance Cp et formule de la limite de Betz

À partir d'ici, nous notons V la vitesse au niveau du disque (notée V₁ plus haut) et V₁ la vitesse loin en aval (notée V₂ plus haut), comme dans les images qui suivent. La puissance extraite du fluide est :

Le coefficient de puissance C_p est le rapport entre la puissance extraite et la puissance disponible dans le fluide :

Le facteur d'interférence axiale a est la fraction de vitesse perdue entre l'écoulement libre en amont du rotor et le plan du rotor :

V = (1 − a) V₀

En utilisant la moyenne des vitesses (), nous obtenons la vitesse loin en aval :

V₁ = (1 − 2a) V₀

Sachant que la force s'écrit aussi comme une différence de pressions de part et d'autre du disque :

En substituant V₁ et V, nous obtenons la poussée et la puissance :

L'expression de C_p devient :

La valeur maximale théorique de C_p, la limite de Betz, s'obtient en cherchant où la dérivée de C_p par rapport à a s'annule :

Remarque de lecture : en dérivant C_p = 4a(1 − a)², nous trouvons dC_p/da = 4(1 − a)(1 − 3a), et non 4(1 − 3a²) comme l'écrit l'image. Cette dérivée s'annule pour a = 1/3, valeur que retient le résultat suivant.

Cela donne :

Le rendement maximal d'une éolienne idéale est donc d'environ 59,3 %. Il n'est jamais atteint en pratique, pour trois raisons :

• l'écoulement de l'air a une composante de rotation due à la rotation du rotor ;
• la traînée n'est jamais nulle, à cause des frottements ;
• l'hélice a un nombre fini de pales.

Pour extraire de l'énergie, il faut que le fluide ralentisse en traversant l'hélice. À a = 1/3, la vitesse au disque vaut les deux tiers de la vitesse amont, et la vitesse loin en aval le tiers. Selon l'équation de continuité, la section de la veine augmente de l'amont vers l'aval : pour une éolienne idéale, la section amont vaut les deux tiers de celle du rotor, et celle du rotor est la moitié de la section aval. Extraire toute l'énergie du fluide est impossible ; en pratique, le rendement des éoliennes réelles ne dépasse pas 45 % environ (un ordre de grandeur que nous reprenons ici sans le recalculer).

5 : Exemple chiffré d'éolienne, puissance du vent et puissance maximale de Betz

Les valeurs qui suivent sont un exemple choisi pour illustrer les formules ; ce ne sont pas des mesures. Prenons une éolienne de 10 m de diamètre dans un vent de 8 m/s, avec une masse volumique de l'air de 1,225 kg/m³.

• La surface du disque est A = π × 5² ≈ 78,5 m².
• La puissance du vent qui traverse ce disque vaut ½ ρ A V₀³ = 0,5 × 1,225 × 78,5 × 8³ ≈ 24 630 W, soit environ 24,6 kW.
• La limite de Betz fixe le maximum récupérable à 16/27 de cette puissance, soit environ 14 600 W (14,6 kW). Aucune éolienne de ce diamètre, quelle que soit sa qualité, ne peut faire mieux dans ce vent.

Au maximum, a = 1/3. La vitesse au disque vaut alors V = (1 − 1/3) × 8 ≈ 5,33 m/s et la vitesse loin en aval V₁ = (1 − 2/3) × 8 ≈ 2,67 m/s. La poussée sur le rotor est T = ½ ρ A V₀² × 4a(1 − a) ≈ 2 740 N, et nous retrouvons bien la puissance : T × V ≈ 2 737 × 5,33 ≈ 14 600 W. La section de la veine vaut 2/3 de A en amont (environ 52 m²) et 2 A en aval (environ 157 m²) : la veine s'élargit, comme l'annonce la figure 1.

Que se passe-t-il si le rotor freine moins, par exemple avec a = 0,25 ? C_p = 4 × 0,25 × 0,75² ≈ 0,5625, soit environ 13 850 W : 5 % de moins que le maximum. La courbe de C_p est plate près de son sommet, ce qui explique qu'un rotor réel puisse travailler un peu à côté de l'optimum sans perdre beaucoup.

6 : Limites de la théorie de Froude, traînée et rotation du sillage

Ce modèle simple, à une dimension, ne décrit pas la rotation du fluide. Il livre pourtant des notions fondamentales sur le fonctionnement des éoliennes et des hydroliennes. Il donne la vitesse induite axiale ; il ne dit rien de la forme de la pale.

Trois limites méritent d'être gardées en tête. Premièrement, il n'y a pas de traînée : le fluide traverse le disque sans frottement, alors que les profils des pales en ont toujours une. Deuxièmement, le sillage ne tourne pas dans le modèle, alors que le rotor ne peut extraire un couple qu'en faisant tourner le fluide en sens inverse ; l'énergie de cette rotation est perdue pour l'extraction. Troisièmement, le disque a une infinité de pales, ce qui efface les pertes en bout de pale. Chacune de ces limites abaisse le C_p réel sous 16/27.

Le modèle cesse aussi d'être valable quand le rotor freine trop. Au-delà de a = 0,5, la vitesse loin en aval s'annulerait, puis changerait de sens, ce que l'hypothèse d'un écoulement qui traverse le disque interdit. La théorie de l'élément de pale traite ces forts freinages avec la correction de Glauert.

La théorie de l'élément de pale complète le tableau. Couplée à celle de Froude, elle décompose la vitesse induite en une composante axiale et une composante tangentielle, nécessaires pour prédire les angles d'incidence et la géométrie des pales.

Pour aller plus loin, nous pouvons suivre cette suite avec la théorie de l'élément de pale pour les hélices de captage, voir le cas de l'hélice propulsive dans la théorie de Froude des hélices de traction, ou consulter les références bibliographiques.